Question

16．若数列{a_n}满足|a_k+1-a_k|=1（k=1，2，…n-1；n∈N*，n≥2），称数列{a_n}为E数列，记S_n为其前n项和
（Ⅰ）写出一个满足a₁=a₅=0，且S₅＞0的E数列{a_n}
（Ⅱ）若a₁=2，n=2017，证明：若E数列{a_n}是递增数列，则a_n=2018；反之，若a_n=2018，则E数列{a_n}是递增数列
（Ⅲ）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的E数列{a_n}，使得S_n=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列{a_n}，如果不在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意0，1，2，1，0是一个满足条件的E数列{a_n}．
（Ⅱ）若E数列{a_n}是递增数列，则a_k+1-a_k=1，推导出{a_n}是首项为2，公差为1的等差数列，从而得到a₂₀₁₇=2018；反之，若a₂₀₁₇=2018，由a_k+1-a_k≤|a_k+1-a_k|=1（当且仅当a_k+1-a_k=1时，等号成立），推导出E数列{a_n}是递增数列．（Ⅲ）由|a_k+1-a_k|=1，即a_k+1=a_k±1，知E数列{a_n}中相邻两项a_k，a_k+1奇偶性相反，即a₁，a₃，a₅，…为偶数，a₂，a₄，a₆，…为奇数，由此利用分类讨论思想能求出结果．

解答 解：（Ⅰ）由题意0，1，2，1，0是一个满足条件的E数列{a_n}．
（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E数列{a_n}）．
证明：（Ⅱ）若E数列{a_n}是递增数列，则a_k+1-a_k=1（k=1，2，3，…，2016），
∴{a_n}是首项为2，公差为1的等差数列，
∴a₂₀₁₇=2+（2017-1）×1=2018．
反之，若a₂₀₁₇=2018，
∵a_k+1-a_k≤|a_k+1-a_k|=1（当且仅当a_k+1-a_k=1时，等号成立），
∴a₂₀₁₇=（a₂₀₁₇-a₂₀₁₆）+（a₂₀₁₆-a₂₀₁₅）+（a₂₀₁₅-a₂₀₁₄）+…+（a₂-a₁）+a₁≤2016+2=2018，
即对k=1，2，…，2016，恒有a_k+1-a₁=1＞0，
∴E数列{a_n}是递增数列．
故若E数列{a_n}是递增数列，则a_n=2018；反之，若a_n=2018，则E数列{a_n}是递增数列．
解：（Ⅲ）由|a_k+1-a_k|=1，即a_k+1=a_k±1，知E数列{a_n}中相邻两项a_k，a_k+1奇偶性相反，
即a₁，a₃，a₅，…为偶数，a₂，a₄，a₆，…为奇数，
①当n=4m（m∈N^*）时，存在首项为0的E数列{a_n}，使得S_n=0．
例如，构造{a_n}：0，-1，0，1，…，a_4k-3，a_4k-2，a_4k-1，a_4k，…，0，-1，0，1，
其中a_4k-3=0，a_4k-2=-1，a_4k-1=0，a_4k=1，k=1，2，3，…，m，
②当n=4m+1（m∈N^*）时，也存在首项为0的E数列a_n，使得S_n=0．
例如，构造{a_n}：0，-1，0，1，…，a_4k-3，a_4k-2，a_4k-1，a_4k，…，0，-1，0，1，a_n，
其中a_4k-3=0，a_4k-2=-1，a_4k-1=0，a_4k=1，k=1，2，3，…，m，a_n=0．
③当n=4m+2或n=4m+3（m∈N）时，
数列{a_n}中偶数项a₂，a₄，a₆，…，
共有2m+1奇数项，且a₂，a₄，a₆，…均为奇数，∴和a₂+a₄+a₆+…为奇数，
又和a₁+a₃+a₅+…为偶数，
∴S_n为奇数，即S_n≠0，
此时，满足条件的E数列{a_n}不存在．

点评 本题考查满足条件的E数列的求法，考查若E数列{a_n}是递增数列，则a_n=2018；反之，若a_n=2018，则E数列{a_n}是递增数列的证明，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．