Question

15．已知锐角α，β满足sin（α+β）cosβ=2cos（α+β）sinβ，当α取得最大值时，tan2α=$\frac{4\sqrt{2}}{7}$．

Answer 1

分析 利用两角和与差的三角函数化简已知条件，利用基本不等式转化求解最值即可．

解答 解：由题意可知：sinα=cos（α+β）sinβ，
∴sinα=cosαcosβsinβ-sinαsin²β，∴sinα（1+sin²β）=cosαcosβsinβ
∴$\frac{sinα}{cosα}=\frac{cosβsinβ}{{（1+{{sin}^2}β）}}$，∴$tanα=\frac{cosβsinβ}{{1+{{sin}^2}β}}=\frac{cosβsinβ}{{2{{sin}^2}β+{{cos}^2}β}}=\frac{tanβ}{{2{{tan}^2}β+1}}$
当α取得最大值时，tanα取得最大．$tanα=\frac{tanβ}{{2{{tan}^2}β+1}}=\frac{1}{{2tanβ+\frac{1}{tanβ}}}$，
当$tanβ=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$时，tanα有最大值为$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．
∴$tan2α=\frac{2tanα}{{1-{{tan}^2}α}}=\frac{{4\sqrt{2}}}{7}$．
故答案为：$\frac{{4\sqrt{2}}}{7}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，基本不等式的应用，考查计算能力．