Question

4．在极坐标系中，设直线$l：ρcos（{θ+\frac{π}{3}}）=2$与圆C：ρ=2rcosθ（r＞0）相切，求r的值．

Answer 1

分析 分别求出直线和圆的普通方程，根据直线和圆的位置关系得到关于r的方程，解出即可．

解答 解：以极点O为坐标原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系xoy，
由ρcos（θ+$\frac{π}{3}$）=2，得ρcosθcos$\frac{π}{3}$-ρsinθsin$\frac{π}{3}$=2，
化为普通方程得：x-$\sqrt{3}$y-4=0，
由ρ=2rcosθ（r＞0），得ρ²=2rρcosθ（r＞0），
化为普通方程得：（x-r）²+y²=r²（r＞0），
∵直线l与圆C相切，所以圆心C（r，0）到直线l的距离$\frac{|r-4|}{\sqrt{1{+（\sqrt{3}）}^{2}}}$=r（r＞0），
解得：r=$\frac{4}{3}$．

点评 本考查了直线和圆的方程的转化，考查直线和圆的位置关系，是一道中档题．