设数列{an}的前n项和为Sn.满足${a n}+{S n}=A{n^2}+Bn+C$(A≠0.n∈N*)．(1)当C=1时.①设bn=an-n.若${a 1}=\frac{3}{2}$.${a 2}=\frac{9}{4}$．求实数A.B的值.并判定数列{bn}是否为等比数列,②若数列{an}是等差数列.求$\frac{B-1}{A}$的值,(2)当C=0时.若数列{an}是等� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足${a_n}+{S_n}=A{n^2}+Bn+C$（A≠0，n∈N^*）．
（1）当C=1时，
①设b_n=a_n-n，若${a_1}=\frac{3}{2}$，${a_2}=\frac{9}{4}$．求实数A，B的值，并判定数列{b_n}是否为等比数列；
②若数列{a_n}是等差数列，求$\frac{B-1}{A}$的值；
（2）当C=0时，若数列{a_n}是等差数列，a₁=1，且?n∈N^*，$λ-\frac{3}{n+1}≤\sum_{i=1}^n{\sqrt{1+\frac{1}{a_i^2}+\frac{1}{{a_{i+1}^2}}}}$，求实数λ的取值范围．

分析（1）①在递推式中分别取n=1，2，得到两个等式，然后代入${a_1}=\frac{3}{2}$，${a_2}=\frac{9}{4}$，得到关于A，B的二元一次方程，求解A，B的值，把A，B的值代回递推式，然后取n=n+1得另一递推式，两式相减后整理即可得到数列{a_n-n}是等比数列，即数列{b_n}是等比数列；
②设出等差数列{a_n}的通项公式，利用S_n=$\frac{（{a}_{1}+{a}_{n}）n}{2}$写出其前n项和，代入a_n+S_n=An²+Bn+1后由系数相等求出A，B，C，则答案可求；
（2）由数列{a_n}是等差数列，且C=0求得B=3A，进一步求得A，B的值，得到等差数列的公差，求出数列{a_n}的通项公式，代入$\sqrt{1+\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}+\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}}$，开方后裂项，求得$\sum_{i=1}^{n}\sqrt{1+\frac{1}{{{a}_{i}}^{2}}+\frac{1}{{{a}_{i+1}}^{2}}}$，在代入$λ-\frac{3}{n+1}≤\sum_{i=1}^n{\sqrt{1+\frac{1}{a_i^2}+\frac{1}{{a_{i+1}^2}}}}$，分离参数λ后得答案．

解答解：（1）①由a_n+S_n=An²+Bn+1，
分别令n=1，2代入上式得：$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}=A+B+1}\\{2{a}_{2}+{a}_{1}=4A+2B+1}\end{array}\right.$，
又a₁=$\frac{3}{2}$，a₂=$\frac{9}{4}$，解得$\left\{\begin{array}{l}{A=\frac{1}{2}}\\{B=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$．
∴a_n+S_n=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{3}{2}$n+1，
a_n+1+S_n+1=$\frac{1}{2}$（n+1）²+$\frac{3}{2}$（n+1）+1，
两式作差得：2a_n+1-a_n=n+2．则a_n+1-（n+1）=$\frac{1}{2}$（a_n-n）．
∵a₁-1=$\frac{1}{2}$≠0，
∴数列{a_n-n}是首项为$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列．
∵b_n=a_n-n，
∴数列{b_n}是等比数列；
②∵数列{a_n}是等差数列，
∴设a_n=dn+c．
则S_n=$\frac{（d+c+dn+c）n}{2}$=$\frac{d}{2}$n²+（c+$\frac{d}{2}$）n．
∴a_n+S_n=$\frac{d}{2}$n²+（c+$\frac{3d}{2}$）n+c．
∴A=$\frac{d}{2}$，B=c+$\frac{3d}{2}$，c=1．
则$\frac{B-1}{A}$=$\frac{\frac{3d}{2}+1-1}{\frac{d}{2}}=3$；
（2）数列{a_n}为等差数列，
∴a_n+S_n=a₁+（n-1）d+na₁+$\frac{n（n-1）d}{2}$=$\frac{d}{2}{n}^{2}+（{a}_{1}+\frac{d}{2}）n+{a}_{1}-d$═An²+Bn+C，
∴A=$\frac{d}{2}$，B=${a}_{1}+\frac{d}{2}$，C=a₁-d，
∴3A-B+C=$\frac{3d}{2}-（{a}_{1}+\frac{d}{2}）$+（a₁-d）=0，因此3A-B+C=0．
又C=0，{a_n}是首项为1的等差数列，
∴B=3A，则1+1=A+B=4A，得A=$\frac{1}{2}$，B=$\frac{3}{2}$，
∴d=2A=1，则a_n=n．
∴$\sqrt{1+\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}+\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{（n+1）^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{n}^{2}（n+1）^{2}+（n+1）^{2}+{n}^{2}}{{n}^{2}（n+1）^{2}}}$
=$\frac{n（n+1）+1}{n（n+1）}$=1+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴$\sum_{i=1}^{n}\sqrt{1+\frac{1}{{{a}_{i}}^{2}}+\frac{1}{{{a}_{i+1}}^{2}}}$=$\sum_{i=1}^{n}（1+\frac{1}{i}+\frac{1}{i+1}）$=$n+1-\frac{1}{n+1}$．
若?n∈N^*，$λ-\frac{3}{n+1}≤\sum_{i=1}^n{\sqrt{1+\frac{1}{a_i^2}+\frac{1}{{a_{i+1}^2}}}}$，
则$λ-\frac{3}{n+1}≤n+1-\frac{1}{n+1}$，即$λ＜n+1+\frac{2}{n+1}$．
∵当n=1时，$（n+1+\frac{2}{n+1}）_{min}=3$，
∴λ＜3．