Question

13．设直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{5}}}{5}t\\ y=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t\end{array}\right.$（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=$\frac{8cosθ}{{{{sin}^2}θ}}$．
（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；
（2）若直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）将曲线C的极坐标方程为ρ=$\frac{8cosθ}{{{{sin}^2}θ}}$．变形得 ρ²sin²θ=8ρcosθ，利用ρsinθ=x，ρcosθ=y，直角坐标方程
（2）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{5}}}{5}t\\ y=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t\end{array}\right.$（t为参数），即y=2x-4，代入y²=8x利用韦达定理，以及弦长公式得到|AB|．

解答 解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=$\frac{8cosθ}{{{{sin}^2}θ}}$．
 得ρsin²θ=8cosθ，∴ρ²sin²θ=8ρcosθ，∴y²=8x，
∴曲线C表示顶点在原点，焦点在x上的抛物线．
（2）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{5}}}{5}t\\ y=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t\end{array}\right.$（t为参数），即y=2x-4，代入y²=8x得 x²-6x+4=0，∴x₁+x₂=6，x₁•x₂=4，
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₁-x₂|=$\sqrt{5}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{5}\sqrt{{6}^{2}-4×4}$=10．

点评 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程，参数的几何意义，一元二次方程根与系数的关系，属于中档题．