Question

4．在△ABC中，三个内角∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，sin²A-sin²C=sinAsinB-sin²B．
（1）求∠C的值；
（2）若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=4，求a+b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理将角的等式转化为边的等式，利用余弦定理得到C的余弦值求C．
（2）由已知 定下来等式得到AB的长度，利用正弦定理将所求转化为关于一个角A 的三角函数，利用角度范围以及正弦函数的有界性求范围．

解答 解：（1）由正弦定理可得a²+b²-c²=ab，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}=\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，∴C=$\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}=4$，∴$\overrightarrow{AB}•（{\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}}）=4$．
即${|{\overrightarrow{AB}}|^2}=4$，
∴c=2．
∵$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，
∴a=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinA，b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinB．
∴a+b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（sinA+sinB）=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$[sinA+sin（$\frac{2π}{3}$-A）]
=4（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA+$\frac{1}{2}$cosA）=4sin（A+$\frac{π}{6}$）．
∵A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴2＜a+b≤4．…（12分）

点评 本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形；利用两个定理灵活将边角关系进行灵活转化是解答的关键．