Question

15．已知函数f（x）=log₂$\frac{x+a}{x-1}$（a＞0）为奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）若x∈（1，4]，f（x）＞log₂$\frac{m}{x-1}$恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用奇函数的定义f（x）+f（-x）=0得到a 的等式求a．
（2）利用（1）的解析式得到真数的关系，利用恒成立问题即求最值，得到m的范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=log₂$\frac{x+a}{x-1}$（a＞0）为奇函数．
∴f（x）+f（-x）=0即$lo{g}_{2}\frac{x+a}{x-1}+lo{g}_{2}\frac{-x+a}{-x-1}$=0，所以$lo{g}_{2}\frac{{x}^{2}-a}{{x}^{2}-1}=0$，得到$\frac{{x}^{2}-a}{{x}^{2}-1}$=1，所以a=1；
（2）x∈（1，4]，f（x）＞log₂$\frac{m}{x-1}$恒成立，即$\frac{x+1}{x-1}＞\frac{m}{x-1}$，x∈（1，4]，所以0＜m＜x+1恒成立，
所以0＜m≤2．即实数m的取值范围是（0，2]．

点评 本题考查了函数奇偶性的运用以及对数不等式恒成立问题；关键是找到对数中真数的关系．