Question

已知圆内接四边形ABCD的边AB=1，BC=3，CD=DA=2．
（Ⅰ）求角C的大小和BD的长；
（Ⅱ）求四边形ABCD的面积及外接圆半径．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：计算题,解三角形

分析：（Ⅰ）连结BD，由于A+C=180°，则cosA=-cosC，在△BCD中，和在△ABD中分别应用余弦定理即可求得BD和角C；
（Ⅱ）由于A+C=180°，则sinA=sinC，由四边形ABCD的面积为S_△ABD+S_△BCD，应用面积公式，即可得到面积，再由正弦定理，得到比值为外接圆的直径，即可得到半径．

解答： 解：（Ⅰ）连结BD，由于A+C=180°，则cosA=-cosC，
由题设及余弦定理得，
在△BCD中，BD²=BC²+CD²-2BC•CDcosC=13-12cosC，…①
在△ABD中，BD²=AB²+DA²-2AB•DAcosA=5+4cosC，…②
由①②得cosC=

1

2

，故C=60°，
则BD=

7

．
（Ⅱ）由于A+C=180°，则sinA=sinC，
由（Ⅰ）的结果及题设，可知四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△BCD=

1

2

AB•DAsinA+

1

2

BC•CDsinC
=

1

2

(1×2+2×3)×

3

2

=2

3

．                 
由正弦定理，可得四边形ABCD的外接圆的半径R=

BD

2sin60°

=

21

3

．

点评：本题考查余弦定理以及应用，三角形的面积公式及正弦定理中的比值为外接圆的直径，考查运算能力，属于中档题．