Question

函数f（x）的定义域为A，若x₁，x₂∈A，且f（x₁）=f（x₂）时，总有x₁=x₂，则称f（x）为单函数．例如：函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数．给出下列命题：
①函数f（x）=x²（x∈R）是单函数；
②指数函数f（x）=2^x（x∈R）是单函数；
③若f（x）为单函数，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂）；
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数，
其中正确命题的个数是（　　）

• A、3
• B、2
• C、1
• D、0

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：利用单函数的定义当f（x₁）=f（x₂）时总有x₁=x₂，分别对四个命题进行判断，可以得出正确结论．
由两数的平方相等，则这两数相等或互为相反数，即可判断①；由指数函数的单调性，即可判断②；
由互为逆否命题的等价性，即可判断③；由单调性的性质，即可判断④．

解答： 解：对于①，函数f（x）=x²，由f（x₁）=f（x₂）得x₁²=x₂²，即x₁=-x₂或x₁=x₂，所以①不是单函数，①错误；
对于②，函数f（x）=2^x，由f（x₁）=f（x₂）即2^x₁=2^x₂，则x₁=x₂，所以②是单函数，②正确；
对于③，f（x）为单函数，则f（x₁）=f（x₂）时，有x₁=x₂，逆否命题是x₁≠x₂时，有f（x₁）≠f（x₂），所以③是正确的；
对于④，若函数f（x）是单调函数，则满足f（x₁）=f（x₂）时，有x₁=x₂，所以④是单函数，④正确．
故正确的是②③④．
故选A．

点评：本题主要考查与函数有关的命题的真假判断，考查函数的性质和应用，利用单函数的定义是解决本题的关键．