Question

4．已知抛物线y²=4x，直线l过定点P（2，1），斜率为k，当k为何值时，直线l与抛物线：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．

Answer 1

分析 设出直线方程代入抛物线方程整理可得k²x²+（-4k²+2k-4）x+4k²-4k+1=0（*）
（1）直线与抛物线只有一个公共点?（*）只有一个根
（2）直线与抛物线有2个公共点?（*）有两个根
（3）直线与抛物线没有一个公共点?（*）没有根

解答 解：由题意可设直线方程为：y=k（x-2）+1，
代入抛物线方程整理可得k²x²+（-4k²+2k-4）x+4k²-4k+1=0（*）
（1）直线与抛物线只有一个公共点等价于（*）只有一个根
①k=0时，y=1符合题意；
②k≠0时，△=（-4k²+2k-4）²-4k²（4k²-4k+1）=0，整理，得2k²-k+1=0，无解，
综上可得，k=0；
（2）由（1）得2k²-k+1＞0且k≠0，∴k≠0；
（3）由（1）得2k²-k+1＜0，无解．

点评 本题主要考查了由直线与抛物线的位置关系的求解参数的取值范围，一般的思路是把位置关系转化为方程解的问题，体现了转化的思想．