Question

一个圆分别与圆x²+y²-2x+4y+1=0和直线2x+y+4

5

=0相切，求直径最小时圆的方程．

Answer 1

考点：圆的标准方程

专题：计算题,直线与圆

分析：由题意先确定已知的圆的圆心和半径，再确定所求圆的圆心在过圆心（1，-2）与直线2x+y+4

5

=0垂直的直线上，所求半径最小，再由点到直线的距离公式，求得所求圆的半径，再设所求圆的圆心，由直线和圆相切的条件，列方程，解方程即可得到所求圆的方程．

解答： 解：圆x²+y²-2x+4y+1=0即为
（x-1）²+（y+2）²=4，则圆心为（1，-2），半径为2，
∴过圆心（1，-2）与直线2x+y+4

5

=0垂直的直线方程为y+2=

1

2

（x-1），
即为x-2y-5=0，
当所求的圆的圆心在此直线上，圆的直径最小．
又圆心（1，-2）到直线2x+y+4

5

=0的距离为

|2-2+4 5 |

4+1

=4，
则所求的圆的半径为1，
设所求圆心坐标为（a，b）
则

|2a+b+4 5 |

5

=1，且a-2b-5=0，
解得a=1-

6 5

5

，b=-2-

3 5

5

．
则所求圆的方程为（x-1+

6 5

5

）²+（y-2-

3 5

5

）²=1．

点评：本题是中档题，考查直线与圆的位置关系，数形结合的思想，考查计算能力．