Question

已知sin（π-θ）+3cos（π+θ）=0，其中θ∈（0，

π

2

）
（1）求sinθ，cosθ的值；
（2）求函数f（x）=sin²x+tanθcosx（x∈R）的值域．

Answer 1

考点：三角函数的化简求值,半角的三角函数

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）由诱导公式和同角三角函数的基本关系式结合角的范围即可求sinθ，cosθ的值；
（2）利用同角三角函数的基本关系吧要求的式子化为

13

4

-(cosx-

3

2

)2，再根据二次函数的性质，余弦函数的最值，求得函数y的最大值和最小值，即可得到函数的值域．

解答： 解：（1）∵sin（π-θ）+3cos（π+θ）=0，
∴sinθ-3cosθ=0
∵θ∈（0，

π

2

）
∴

1-cos2θ

=3cosθ，可解得cosθ=

10

10

，sinθ=

1-cos2θ

=

3 10

10

．
（2）∵由（1）可得tanθ=

sinθ

cosθ

=3
∴f（x）=sin²x+tanθcosx=sin²x+3cosx=1-cos²x+3cosx=

13

4

-(cosx-

3

2

)2，
故当cosx=1时，函数y取得最大值为3，当cosx=-1时，函数y取得最小值为-3，
故函数的值域为[-3，3]．

点评：本题主要考查二次函数的性质，余弦函数的最值，同角三角函数的基本关系，属于中档题．