Question

函数f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=-x²+2x+a（a∈R）．
（1）若函数f（x）在（0，+∞）上函数值均小于0，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使得函数f（x）在[-1，1]上单调递增？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数奇偶性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）当x＞0时，f（x）=-x²+2x+a=-（x-1）²+1+a；从而化恒成立问题为最值问题；
（2）假设存在实数a，使得函数f（x）在[-1，1]上单调递增；则分析题意知只需使f（0）=-0²+2×0+a≥0；从而解得．

解答： 解：（1）当x＞0时，f（x）=-x²+2x+a=-（x-1）²+1+a；
∵函数f（x）在（0，+∞）上函数值均小于0，
∴1+a＜0；
∴a＜-1；
（2）假设存在实数a，使得函数f（x）在[-1，1]上单调递增；
∵函数f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=-x²+2x+a（a∈R）．
∴f（x）在[-1，0）（0，1]上单调递增；
故只需使f（0）=-0²+2×0+a≥0；
解得，a≥0．
故a的取值范围为[0，+∞）．

点评：本题考查了函数的性质的应用及分段函数的单调性的判断与应用，属于中档题．