Question

（1）若

C

1 n

，

C

2 n

，

C

3 n

成等差，求n的值；
（2）求证：

C k n

n

=

C k-1 n-1

k

(其中n≥k≥2，k∈N)；
（3）数列{x_n}是首项为x₁，公比为q的等比数列，其前n项和为S_n，化简下列式子：Tn=S1

C

1 n

+S2

C

2 n

+…+Sn

C

n n

．

Answer 1

考点：二项式定理的应用,等差数列的通项公式,数列的求和,组合及组合数公式

专题：等差数列与等比数列,排列组合,二项式定理

分析：（1）利用等差数列的中项，结合组合数公式，进行化简即可；
（2）利用组合数公式，进行化简证明即可；
（3）讨论当q=1时，和q≠1时，求出等比数列的S_n，再分别进行计算与化简．

解答： 解：（1）∵

C

1 n

，

C

2 n

，

C

3 n

成等差，
∴2

C

2 n

=

C

1 n

+

C

3 n

，
即

2n(n-1)

2×1

=n+

n(n-1)(n-2)

3×2×1

，
解得n=7或n=2（舍），
∴n=7；
（2）证明：∵n≥k≥2，
∴

C k n

n

=

n(n-1)(n-2)…(n-k+1)

n×k×(k-1)×…×3×2×1

=

C k-1 n-1

k

，
∴

C k n

n

=

C k-1 n-1

k

（其中n≥k≥2，k∈N）；
（3）∵数列{x_n}是首项为x₁，公比为q的等比数列，其前n项和为S_n，
∴①当q=1时，S_n=nx₁，
∴S_k•

C

k n

=kx₁•

C

k n

=x₁•k•

n!

k!•(n-k)!

=nx₁•

(n-1)!

(k-1)!•(n-k)!

=nx₁•

C

k-1 n-1

，
∴S₁C_n¹+S₂C_n²+S₃C_n³+S₄C_n⁴+…+S_nC_nⁿ
=na₁（C_n-1⁰+C_n-1¹+C_n-1²+…+C_n-1^n-1）=na₁2^n-1；
②当q≠1时，S_n=

x1(1-qn)

1-q

，
∴S_k•

C

k n

=

x1(1-qk)

1-q

•

C

k n

=

x1

1-q

•

C

k n

-

x1

1-q

C

k n

q^k
∴S₁C_n¹+S₂C_n²+S₃C_n³+S₄C_n⁴+…+S_nC_nⁿ
=

x1

1-q

（

C

1 n

+

C

2 n

+

C

3 n

+…+

C

n n

）-

x1

1-q

（

C

1 n

•q+

C

2 n

•q²+

C

3 n

•q³+…+

C

n n

•qⁿ）
=

x1

1-q

•（2ⁿ-1）-

x1

1-q

•[（1+q）ⁿ-1]
=

x1

1-q

[2ⁿ-（1+q）ⁿ]．

点评：本题考查了组合及组合数公式的应用问题，也考查了等差与等比数列的性质与前n项和等知识的应用问题，是难题．