Question

已知函数f（x）=

ex+m

ex+1

，若对于任意a，b，c∈R，都有f（a）+f（b）＞f（c）成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A、[

  1

  2

  ，2]
• B、[0，1]
• C、[1，2]
• D、[

  1

  2

  ，1]

Answer 1

考点：指数函数单调性的应用

专题：函数的性质及应用

分析：把函数化为函数f（x）=

ex+m

ex+1

=1+

m-1

ex+1

，分类讨论得出值域，根据端点值，f（a）+f（b）＞f（c）成立，最小值的2倍与最大值的比较，列出不等式即可求解．

解答： 解：∵函数f（x）=

ex+m

ex+1

，
∴函数f（x）=

ex+m

ex+1

=1+

m-1

ex+1

，
∵e^x+1＞1，
∴0＜

1

ex+1

＜1，
①当m=1时，f（x）=1，对于任意a，b，c∈R，都有f（a）+f（b）＞f（c）成立
②当m＞1时，∵0＜

m-1

ex+1

＜m-1，
1＜1+

m-1

ex+1

＜m，
∴对于任意a，b，c∈R，都有f（a）+f（b）＞f（c）成立
即有只需：2≥m，
∴1＜m≤2，
③当m＜1时，m-1＜

m-1

ex+1

＜0，
∴m＜1+

m-1

ex+1

＜1，
∴对于任意a，b，c∈R，都有f（a）+f（b）＞f（c）成立，即只需2m≥1，

1

2

≤m＜1，
综上所述实数m的取值范围为：[

1

2

，2]，

点评：本题考查了不等式的恒成立问题与函数单调性，结合不等式的性质转化求解问题，难度较大，属于思维量大的题目