Question

已知函数f（x）=3^x，且f（a+2）=18，g（x）=3^ax-4^x的定义域为区间[0，1]．
（1）求g（x）的解析式；
（2）求g（x）的单调区间，确定其增减性并试用定义证明；
（3）求g（x）的值域．

Answer 1

考点：指数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（a+2）=18可得3^a+2=18，求得3^a=2，可得g（x）的解析式，
（2）转化设t=2^x，1≤t≤2，则y=k（t）=t-t²，1≤t≤2，对称轴t=

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，写出单调区间，运用定义证明．
（3）根据函数的单调性，求解即可得出值域．

解答： 解：（1）∵f（x）=3^x，f（a+2）=18，∴3^a+2=18，得3^a=2，
∴g（x）=2^x-4^x，x∈[0，1]．
（2）∵g（x）=2^x-4^x =2^x-（2^x）²，x∈[0，1]，
设t=2^x，1≤t≤2，则y=k（t）=t-t²，1≤t≤2，对称轴t=

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2

，
∴t∈[1，2]单调递减，
∵t=2^x为[0，1]上的增函数，
∴g（x）在[0，1]上为减函数，
证明：∵设0≤x₁＜x₂≤1，1≤t₁＜t₂≤2，t₁-t₂＜0，1-t₁-t₂＜0
∴g（x₁）-g（x₂）=k（t₁）-k（t₂）=（t₁-t₂）（1-t₁-t₂）＞0，
即k（t₁）＞k（t₂），
g（x₁）＞g（x₂），
∴g（x）在[0，1]上为减函数，
（3）∵g（x）=2^x-4^x，x∈[0，1]上为减函数，
∴g（0）=0，g（1）=-2，
∴g（x）的值域：[-2，0]

点评：本题综合考察了函数的性质，运用求解最大值，最小值，难度不大，容易出错，做题要认真仔细．