Question

（1）已知(

3

x

-

3	x

)n的展开式的各项系数之和等于(4

3	x

-

1

5x

)5展开式中的常数项，求n；
（2）求（1-x）³+（1-x）⁴+…+（1-x）¹⁰展开式中x²项的系数．

Answer 1

考点：二项式定理的应用

专题：计算题,排列组合,二项式定理

分析：（1）展开式的各项系数之和，只要令x=1，由二项式的通项公式，化简整理，令x的指数为0，解方程，即可得到n；
（2）运用组合数公式，

C

r n

+C

r-1 n

=C

r n+1

，分别求出各个二项式的x²项的系数，再由裂项相消求和，即可得到．

解答： 解：（1）设(4

3	x

-

1

5x

)5的展开式的通项为
Tr+1=

C

r 5

(4

3	x

)5-r(-

1

5x

)r=(-

1

5

)r•45-r

C

r 5

•x

10-5r

6

，(r=0，1，2，3，4，5)．
若它为常数项，则

10-5r

6

=0，∴r=2，代入上式∴T3=27．
即常数项是2⁷，从而可得(

3

x

-

3	x

)n中n=7；
（2）∵

C

r n

+C

r-1 n

=C

r n+1

，
∴x²项的系数为

C

2 3

+C

2 4

+…

+C

2 10

=（

C

3 4

-C

3 3

）+（

C

3 5

-C

3 4

）+…+（

C

3 11

-C

3 10

）
=

C

3 11

-C

3 3

=164．

点评：本题考查二项式定理及运用，考查二项式展开式的通项公式的运用，考查组合数公式的运用，考查运算能力，属于中档题．