Question

14．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的左右焦点为F₁，F₂，P为椭圆椭圆上任一点，则|PF₁|•|PF₂|的最大值为4．

Answer 1

分析 由椭圆方程求出椭圆的长半轴长和椭圆的离心率，由焦半径公式得到|PF₁|，|PF₂|，作积后由x的范围求得
|PF₁|•|PF₂|的最大值．

解答 解：由椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
∴e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
设P（x，y），
由焦半径公式得|PF₁|=2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，|PF₂|=2+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴|PF₁|•|PF₂|=（2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x）（2+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x）=4-$\frac{3}{4}$x²，
∵x∈[-2，2]
∴当x=0时，|PF₁|•|PF₂|的最大值是4．

故答案为：4．

点评 本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了焦半径公式的应用，是中档题．