Question

4．某工厂要生产体积为定值V的漏斗，现选择半径为R的圆形马口铁皮，截取如图所示的扇形，焊制成漏斗．
（1）若漏斗的半径为$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，求圆形铁皮的半径R；
（2）这张圆形铁皮的半径R至少是多少？

Answer 1

分析 （1）求出漏斗高，利用体积求圆形铁皮的半径R；
（2）利用导数知识，即可得出结论．

解答 解：（1）漏斗高h=$\frac{1}{2}$R，…（2分）
则体积V=$\frac{1}{3}$π（$\frac{\sqrt{3}}{2}$R）²h，所以R=2$\root{3}{\frac{V}{π}}$．      …（6分）
（2）设漏斗底面半径为r（r＞0），V=$\frac{1}{3}$πr²$\sqrt{{R}^{2}-{r}^{2}}$，R=$\sqrt{\frac{9{V}^{2}}{{π}^{2}{r}^{4}}+{r}^{2}}$，…（9分）
令f（r）=$\frac{9{V}^{2}}{{π}^{2}{r}^{4}}$+r²（r＞0），则f′（r）=$\frac{2{π}^{2}{r}^{6}-36{V}^{2}}{{π}^{2}{r}^{5}}$，
所以f（r）在（0，$\root{6}{\frac{18{V}^{2}}{{π}^{2}}}$）上单调减，（$\root{6}{\frac{18{V}^{2}}{{π}^{2}}}$，+∞）单调增，…（12分）
所以当r=$\root{6}{\frac{18{V}^{2}}{{π}^{2}}}$时，R取最小值为$\root{3}{\frac{9\sqrt{3}V}{2π}}$．…（15分）
答：这张圆形铁皮的半径R至少为$\root{3}{\frac{9\sqrt{3}V}{2π}}$．…（16分）

点评 本题考查几何中的最值、函数中的最值的求法；考查函数思想；考查阅读理解能力、数学建模的能力、运算能力和叙述表达能力．