Question

6．已知数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，S_n为其前n项和，且满足a_n²=S_2n-1，b_n=$\frac{1}{a{{\;}_{n}a}_{n+1}}$．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式及其前n项和T_n；
（2）在数列{b_n}中，是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n依次成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据递推关系求出a₁，a₂，即可求出公差，整理后可求得a_n，代入利用裂项法求得T_n．
（2）根据（1）中求得T_n分别表示出T₁，T_m，T_n根据等比中项的性质建立等式，化简整理即可求得m的范围，进而根据m和n均为正整数求得m，进而n

解答 解：（1）：n=1时，${a}_{1}^{2}={S}_{1}={a}_{1}$≠0，解得a₁=1．
n=2时，${a}_{2}^{2}={S}_{3}$，∴（1+d）²=3+3d，解得d=2或-1．
d=-1时，a₂=0，舍去．
∴d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
b_n=$\frac{1}{a{{\;}_{n}a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
由T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$，
（2）由（1）知，T_n=$\frac{n}{2n+1}$，
∴T₁=$\frac{1}{3}$，T_m=$\frac{m}{2m+1}$，
若T₁，T_m，T_n依次成等比数列，
则（$\frac{m}{2m+1}$）²=$\frac{1}{3}$•$\frac{n}{2n+1}$，
整理可得$\frac{3}{n}$=$\frac{-2{m}^{2}+4m+1}{{m}^{2}}$
∴-2n²+4m+1＞0，
解得1-$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜m＜1+$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
又m∈N，且m＞1，
所以m=2，此时n=12．
故可知：当且仅当m=2，n=12使数列{T_n}中的T₁，T_m，T_n成等比数列．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．