Question

17．已知锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且$（{a^2}+{b^2}-{c^2}）sinC=\sqrt{3}abcosC$．
（1）求角C；
（2）若$c=\sqrt{3}$，求b-2a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理，得a²+b²-c²=2abcosC，从而$2abcosCsinC=\sqrt{3}abcosC$，进而$sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，由此能求出C．
（2）由正弦定理，得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{{\sqrt{3}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}=2$，从而$b-2a=2\sqrt{3}cos（{A+\frac{π}{3}}）$，进而$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{2}$，由此能求出b-2a的取值范围．

解答 解：（1）由余弦定理，可得a²+b²-c²=2abcosC，
∵$（{a^2}+{b^2}-{c^2}）sinC=\sqrt{3}abcosC$，
∴$2abcosCsinC=\sqrt{3}abcosC$，
∴$sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
又$0＜C＜\frac{π}{2}$，∴$C=\frac{π}{3}$．
（2）由正弦定理，$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{{\sqrt{3}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}=2$，
∴$b-2a=2sinB-4sinA=2sin（{\frac{2π}{3}-A}）-4sinA=\sqrt{3}cosA-3sinA$，
$b-2a=2\sqrt{3}cos（{A+\frac{π}{3}}）$
∵△ABC是锐角三角形，
∴$\left\{\begin{array}{l}0＜A＜\frac{π}{2}，\;\;\\ 0＜\frac{2π}{3}-A＜\frac{π}{2}，\;\;\end{array}\right.$得$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{2}＜A+\frac{π}{3}＜\frac{5π}{6}$，$cos（{A+\frac{π}{3}}）∈（{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\;\;0}）$，
∴b-2a的取值范围是（-3，0）．

点评 本题考查三角形的内角求法，考查三角形的边的代数式的取值范围的求法，考查同角三角函数关系式、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．