Question

2．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，${sin^2}\frac{A-B}{2}+sinAsinB=\frac{{2+\sqrt{2}}}{4}$．
（1）求角C的大小；
（2）若c=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式得到$\frac{1-cos（A-B）}{2}$+$\frac{2sinAsinB}{2}$=$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$，利用余弦加法定理得$\frac{1-cos（A+B）}{2}=\frac{2+\sqrt{2}}{4}$，从而cosC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由此能求出C．
（2）由余弦定理得$4={a^2}+{b^2}-\sqrt{2}ab≥2ab-\sqrt{2}ab$，从而$ab≤\frac{4}{{2-\sqrt{2}}}=4+2\sqrt{2}$，由此能求出△ABC面积的最大值．

解答 解：（1）∵在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，
${sin^2}\frac{A-B}{2}+sinAsinB=\frac{{2+\sqrt{2}}}{4}$．
∴$\frac{1-cos（A-B）}{2}$+$\frac{2sinAsinB}{2}$=$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$，
∴$\frac{1-cosAcosB+sinAsinB}{2}$+$\frac{2sinAsinB}{2}$=$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$，
$\frac{1-cosAcosB+sinAsinB}{2}=\frac{2+\sqrt{2}}{4}$，
$\frac{1-cos（A+B）}{2}=\frac{2+\sqrt{2}}{4}$，
$\frac{1-cos（π-c）}{2}$=$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$，
$\frac{1+cosC}{2}=\frac{2+\sqrt{2}}{4}$，故cosC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0＜C＜π，∴C=$\frac{π}{4}$．
（2）由c²=a²+b²-2abcosC，
得$4={a^2}+{b^2}-\sqrt{2}ab≥2ab-\sqrt{2}ab$
即$ab≤\frac{4}{{2-\sqrt{2}}}=4+2\sqrt{2}$，
∵${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{{\sqrt{2}}}{4}ab≤1+\sqrt{2}$
∴△ABC面积的最大值${（{S_{△ABC}}）_{max}}=1+\sqrt{2}$．

点评 本题考查角的求法，考查三角形的面积的最大值的求法，考查二倍角公式、余弦加法定理、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．