Question

12．已知△ABC的外接圆的半径为R，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asinBcosC+$\frac{3}{2}$csinC=$\frac{2}{R}$，则△ABC面积的最大值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 由正弦定理得$abcosC+\frac{3}{2}{c}^{2}$=4，从而a²+b²+2c²=8，由余弦定理得8-3c²=2abcosC，记△ABC的面积为S，则4S=2absinC，从而（8-3c²）²+16S²=4a²b²≤（a²+b²）²，进而16S²≤c²（16-5c²），由此能求出△ABC面积的最大值．

解答 解：∵△ABC的外接圆的半径为R，角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinBcosC+$\frac{3}{2}$csinC=$\frac{2}{R}$，
∴由正弦定理得$abcosC+\frac{3}{2}{c}^{2}$=4，
∴ab•$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$+$\frac{3}{2}{c}^{2}$=4，
整理，得：a²+b²+2c²=8，
由余弦定理得8-3c²=2abcosC，①
记△ABC的面积为S，则4S=2absinC，②
将①②平方相加，得：
（8-3c²）²+16S²=4a²b²≤（a²+b²）²，
∴16S²≤c²（16-5c²），即S²≤$\frac{4}{5}$，S≤$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
当且仅当c²=$\frac{8}{5}$时等号成立，
∴△ABC面积的最大值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查三角形面积的最大值的求法，考查同角三角函数关系式、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．