Question

3．已知f（x）是R上的奇函数，f（1）=1，且对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，则f（2015）+f（2016）=-1．

Answer 1

分析 求出f（3）=0，可得f（x）是以6为周期的周期函数，利用函数的周期性和奇偶性进行转化求解，即可得出结论．

解答 解：∵f（x+6）=f（x）+f（3）中，
∴令x=-3，得f（3）=f（-3）+f（3），即f（-3）=0．
又f（x）是R上的奇函数，故f（-3）=-f（3）=0．f（0）=0，
∴f（3）=0，
故f（x+6）=f（x），
∴f（x）是以6为周期的周期函数，
从而f（2015）=f（6×336-1）=f（-1）=-f（1）=-1．
f（2016）=f（6×336）=f（0）=0．
故f（2015）+f（2016）=-1+0=-1，
故答案为：-1

点评 本题主要考查函数值的计算以及奇函数、周期函数的应用，确定f（x）是以6为周期的周期函数是关键．