Question

10．已知f（x）为定义在[a-1，2a+1]上的偶函数，当x≥0时，f（x）=e^x+1，则f（2x+1）＞f（$\frac{x}{2}$+1）的解得取值范围是（　　）

• A． [-1，1]
• B． [-1，-$\frac{1}{3}$）
• C． [0，$\frac{8}{9}$]
• D． [-1，-$\frac{4}{5}$）

Answer 1

分析 先根据函数的奇偶性求出a的值，然和根据复合函数单调性可知当x≥0时，函数为增函数，再由偶函数图象在对称区间上单调性相反，可得当x≤0时，f（x）为减函数，则f（2x+1）＞f（$\frac{x}{2}$+1）可转化为|2x+1|＞|$\frac{x}{2}$+1|，解得x的取值范围即可．

解答 解：∵f（x）为定义在[a-1，2a+1]上的偶函数，
∴a-1+2a+1=0，解得：a=0，
故定义域是[-1，1]，
∵当0≤x≤1时，f（x）=1+e^x，此时函数为增函数，
则要使f（2x+1）＞f（$\frac{x}{2}$+1），只需|2x+1|＞|$\frac{x}{2}$+1|，
两边平方，化简得：5x²+4x＞0，解得：x＞0或x＜-$\frac{4}{5}$①，
又$\left\{\begin{array}{l}{-1≤2x+1≤1}\\{-1≤\frac{x}{2}+1≤1}\end{array}\right.$，解得：-1≤x≤0②，
综合①②得：-1≤x＜-$\frac{4}{5}$，
故选：D．

点评 本题考查的知识点是函数单调性，函数奇偶性的综合应用，及绝对值不等式的解法，综合性强，难度中档．