Question

7．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{|x-1|}-1，x≤2}\\{\frac{1}{2}f（x-2），x＞2}\end{array}\right.$，g（x）=log_ax（a＞1），若F（x）=f（x）-g（x）恰有三个不同零点，则实数a的取值范围为（4，${e}^{\frac{1}{ln2}}$）∪[16，256]．（ 参考值：ln2≈0.7 ）

Answer 1

分析 由x≤2时的f（x）解析式，可得当2＜x≤4，当4＜x≤6的解析式，由题意可得y=f（x）和y=g（x）的图象有三个交点．画出y=f（x）和y=g（x）的图象，通过图象观察即可得到所求范围．

解答 解：当x≤2时，f（x）=2^|x-1|-1；
当2＜x≤4，即0＜x-2≤2时，f（x）=$\frac{1}{2}$f（x-2）
=$\frac{1}{2}$（2^|x-3|-1）；
当4＜x≤6，即2＜x-2≤4时，f（x）=$\frac{1}{2}$f（x-2）
=$\frac{1}{4}$（2^|x-5|-1）；
…，
F（x）=f（x）-g（x）恰有三个不同零点，
即为y=f（x）和y=g（x）的图象有三个交点．
画出y=f（x）和y=g（x）的图象，
当y=g（x）的图象通过点（4，$\frac{1}{2}$）时，
由log_a4=$\frac{1}{2}$，解得a=16，图象恰好有三个交点；
当y=g（x）的图象经过点（4，$\frac{1}{4}$）时，
由log_a4=$\frac{1}{4}$，解得a=256，图象恰好有三个交点．
由图象观察，可得16≤a≤256时，y=f（x）和y=g（x）都有三个交点．
由a＞4时，f（x）与g（x）在x=1处相切，可得g′（x）|_x=1=$\frac{1}{lna}$=ln2，
解得a=${e}^{\frac{1}{ln2}}$．
当4＜a＜${e}^{\frac{1}{ln2}}$时，在（1，2）有交点，即x=1一个解，（1，2）内一个解，（2，3）内有一解，
由4＜a＜${e}^{\frac{1}{ln2}}$，且log_a4＞$\frac{1}{4}$，可得4＜a＜${e}^{\frac{1}{ln2}}$．
故答案为：（4，${e}^{\frac{1}{ln2}}$）∪[16，256]．

点评 本题考查分段函数的图象及运用，考查函数的零点的判断，注意运用数形结合的思想方法，考查对数的运算性质，属于中档题．