Question

6．设函数f（x）=1n（x+1）+a（x²-x），其中a∈R，当a=1时，求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，确定出函数的单调区间，由此求得函数的极值点．

解答 解：函数f（x）=1n（x+1）+a（x²-x），当a=1时由f（x）=1n（x+1）+x²-x，
得f′（x）=$\frac{1}{x+1}$+2x-1=$\frac{2{x}^{2}+x}{x+1}$=$\frac{x（2x+1）}{x+1}$，x＞-1．
当-1＜x＜$-\frac{1}{2}$，x＞0时，f′（x）＞0；
当$-\frac{1}{2}$＜x＜0时，f′（x）＜0．
∴函数f（x）在（-1，$-\frac{1}{2}$），（0，+∞）上为增函数，在（$-\frac{1}{2}$，0）上为减函数．
∴函数f（x）=1n（x+1）+x²-x的极大值为：f（$-\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{4}-ln2$，极小值为：f（0）=0．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性，关键是正确求出原函数的导函数，是中档题．