Question

在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a=2，C=

π

4

，cos

B

2

=

2 5

5

，则△ABC的面积S=

 

．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：由cos

B

2

=

2 5

5

，利用倍角公式可得cosB=2cos2

B

2

-1=

3

5

，利用同角三角函数基本关系式可得sinB=

4

5

．利用三角形的内角和定理与两角和差的正弦公式可得sinA=sin（B+C）=sinBcos

π

4

+cosBsin

π

4

．由正弦定理可得：

a

sinA

=

b

sinB

，利用S_△ABC=

1

2

absinC即可得出．

解答： 解：∵cos

B

2

=

2 5

5

，∴cosB=2cos2

B

2

-1=

3

5

，∴sinB=

4

5

．
∴sinA=sin（B+C）=sinBcos

π

4

+cosBsin

π

4

=

4

5

×

2

2

+

3

5

×

2

2

=

7 2

10

．
由正弦定理可得：

a

sinA

=

b

sinB

，
∴b=

asinB

sinA

=

8 2

7

．
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×2×

8 2

7

×

2

2

=

8

7

．
故答案为：

8

7

．

点评：本题考查了倍角公式、同角三角函数基本关系式、三角形的内角和定理与两角和差的正弦公式、正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．