Question

如图①，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，E，F分别为AC，AB的中点，将△AEF沿EF对折，使A′在平面BCEF上的射影O恰好为EC中点，得到图②，若M为A′B的中点．
（1）FM∥平面A′CE；
（2）求证：平面EFM⊥平面A′CF；
（3）求三棱锥F-A′BC的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连BE，取BE中点N，连结MN，FN，由已知得MN∥A′E，NF∥CE，又MN∩FN=N，从而平面MNF∥平面A′CE，由此能证明FM∥平面A′CE．
（2）由已知得EF⊥AC，EF⊥A'E，EF⊥EC，从则EF⊥平面A'EC，由此能证明平面EFM⊥平面A′CF．
（3）由已知得S_△FBC=

1

2

BC•EC=4，A′O=

A′E2-EO2

=

3

，由此能求出三棱锥F-A′BC的体积．

解答： （1）证明：连BE，取BE中点N，连结MN，FN，
∵M是为A′B的中点，∴MN∥A′E，
∵△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，
E，F分别为AC，AB的中点，
∴NF∥CE，又MN∩FN=N，∴平面MNF∥平面A′CE，
∵MF?平面MNF，∴FM∥平面A′CE．
（2）证明：在△ABC中，EF是等腰直角△ABC的中位线，
∴EF⊥AC，在四棱锥A'-BCEF中，EF⊥A'E，EF⊥EC，
又EC∩A′E=E，∴EF⊥平面A'EC，
∵平面MNF∥平面A′CE，∴EF⊥平面MNF，
又EF?平面EFM，∴平面EFM⊥平面A′CF．
（3）解：在直角梯形EFBC中，EC=2，BC=4，
∴S_△FBC=

1

2

BC•EC=4，
又∵A'O垂直平分EC，∴A′O=

A′E2-EO2

=

3

，
∴三棱锥F-A′BC的体积V=

1

3

S_△FBC•A′O=

1

3

×4×

3

=

4 3

3

．

点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．