Question

函数f（x）=sin²xcosx的最大值为

 

．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：把原函数化为仅含cosx的函数，换元后利用导数求最大值．

解答： 解：f（x）=sin²xcosx=（1-cos²x）•cosx=cosx-cos³x．
令t=cosx（-1≤t≤1），
则y=t-t³（-1≤t≤1），
∴y′=1-3t²，
∴当t∈（-1，-

3

3

），（

3

3

，1）时，y′＜0，y=t-t³为减函数，
当t∈（-

3

3

，

3

3

）时，y′＞0，y=t-t³为增函数．
∴当t=

3

3

时，y有极大值为

3

3

-(

3

3

)3=

2 3

9

．
由当t=-1时，y=-1-（-1）³=0．
∴y=t-t³（-1≤t≤1）的最大值为

2 3

9

．
故答案为：

2 3

9

．

点评：本题考查了三角函数的最值，考查了换元法，训练了利用导数求函数的最值，是中档题．