Question

定义“D”：△f（x）=f（x+1）-f（x），△²f（x）=△[△f（x）]，△³f（x）=△[△²f（x）]，…，比如f（x）=x²，则有△f（x）=2x+1，△²f（x）=2，现已知f（x）=x²⁰¹¹，则△²⁰¹²f（x）=（　　）

• A、1×2×3×…×2011
• B、1×2×3×…×2012
• C、2012
• D、0

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：推理和证明

分析：先考虑若f（x）=x，求出，△²f（x）=0；若f（x）=x²，得到△³f（x）=0；若f（x）=x³，得到△⁴f（x）=0；归纳出若f（x）=xⁿ，则△ⁿ⁺¹f（x）=0．从而得到△²⁰¹²f（x）=0．

解答： 解：若f（x）=x，则△f（x）=f（x+1）-f（x）=1，△²f（x）=0；
若f（x）=x²，则△f（x）=2x+1，△²f（x）=2，△³f（x）=0；
若f（x）=x³，则△f（x）=3x²+3x+1，△²f（x）=6x+6，△³f（x）=6，△⁴f（x）=0；
…
若f（x）=xⁿ，则△ⁿ⁺¹f（x）=0．
∴若f（x）=x²⁰¹¹，则△²⁰¹²f（x）=0．
故选D．

点评：本题主要考查简单的合情推理：归纳推理，先通过几个特殊的情况，从而归纳出一般情况．