Question

14．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，平面PAB⊥平面ABCD，PB=PC，∠ABC=45°．
（Ⅰ）求证：AB⊥PC；
（Ⅱ）若三角形PAB是边长为2的等边三角形，求三棱锥P-ABC外接球的表面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）作PO⊥AB于O，连接OC，推导出PO⊥面ABCD．再求出OC⊥AB，从而AB⊥面POC，由此能证明AB⊥PC．
（Ⅱ）在线段PO上取点E，EA=EB=EC，E是外接球的球心，设三棱锥P-ABC外接球的半径为R，则EC²=EO²+OC²，由此能求出三棱锥P-ABC外接球的表面积．

解答 证明：（Ⅰ）作PO⊥AB于O…①，连接OC，
∵平面PAB⊥平面ABCD，且面PAB∩面ABCD=AB，
∴PO⊥面ABCD．
∵PB=PC，∴△POB≌△POC，∴OB=OC，
又∵∠ABC=45°，∴OC⊥AB…②
又PO∩CO=O，由①②，得AB⊥面POC，
又PC?面POC，∴AB⊥PC．…（6分）
解：（Ⅱ）∵三角形PAB是边长为2的等边三角形，
∴$PO=\sqrt{3}，OA=OB=OC=1$．
∵PO⊥面ABCD，PO＞OA=OB=OC，线段PO上取点E，
∴EA=EB=EC，E是外接球的球心，
设三棱锥P-ABC外接球的半径为R，
$EO=\sqrt{3}-R，EC=R$，EC²=EO²+OC²，
${R^2}={1^2}+{（\sqrt{3}-R）^2}$，$R=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
∴三棱锥P-ABC外接球的表面积$S=4π{R^2}=\frac{16π}{3}$．…（12分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查几何体的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想是，是中档题．