Question

9．已知函数f（x）=acosx+bx²+2（a∈R，b∈R），f'（x）为f（x）的导函数，则f（2016）-f（-2016）+f'（2017）+f'（-2017）=（　　）

• A． 4034
• B． 4032
• C． 4
• D． 0

Answer 1

分析 根据题意，分析可得f（x）=acosx+bx²+2为偶函数，则有f（2016）-f（-2016）=0，对函数f（x）求导可得f′（x），分析可得f′（x）为奇函数，则有f'（2017）+f'（-2017）=0，将f（2016）-f（-2016）与f'（2017）+f'（-2017）相加即可得答案．

解答 解：根据题意，函数f（x）=acosx+bx²+2，f（-x）=acos（-x）+b（-x）²+2=f（x），
则函数f（x）为偶函数，
则有f（2016）=f（-2016），即f（2016）-f（-2016）=0，
函数f（x）=acosx+bx²+2，
则其导数f′（x）=-asinx+2bx，
又由f′（-x）=-asin（-x）+2b（-x）=-（-asinx+2bx）=-f′（x），
即函数f′（x）=-asinx+2bx为奇函数，
则有f'（2017）=-f'（-2017），即f'（2017）+f'（-2017）=0；
则f（2016）-f（-2016）+f'（2017）+f'（-2017）=0+0=0；
故选：D．

点评 本题考查导数的计算，涉及函数奇偶性的性质，关键是求出函数f（x）的导数并分析导函数的奇偶性．