Question

12．说明：请从A，B两小题中任选一题作答．
A．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且$2{S_n}={3^{n+1}}-3（{n∈{N^*}}）$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足${b_n}=\frac{1}{a_n}{log_3}{a_n}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由数列的递推式：a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，计算即可得到所求通项公式；
（2）求得${b_n}=\frac{1}{a_n}{log_3}{a_n}$=$\frac{1}{{3}^{n}}$•log₃3ⁿ=n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．

解答 解：（1）数列{a_n}的前n项和为S_n，且$2{S_n}={3^{n+1}}-3（{n∈{N^*}}）$．
可得a₁=S₁=$\frac{1}{2}$×（9-3）=3，
当n≥2时，2a_n=2S_n-2S_n-1=3ⁿ⁺¹-3-3ⁿ+3=2×3ⁿ，
即有a_n=3ⁿ，对n=1也成立，
故a_n=3ⁿ，n∈N*；
（2）${b_n}=\frac{1}{a_n}{log_3}{a_n}$=$\frac{1}{{3}^{n}}$•log₃3ⁿ=n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
前n项和T_n=1•（$\frac{1}{3}$）+2•（$\frac{1}{3}$）²+3•（$\frac{1}{3}$）³+…+（n-1）•（$\frac{1}{3}$）^n-1+n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
$\frac{1}{3}$T_n=1•（$\frac{1}{3}$）²+2•（$\frac{1}{3}$）³+3•（$\frac{1}{3}$）⁴+…+（n-1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ+n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
相减可得，$\frac{2}{3}$T_n=（$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$）²+（$\frac{1}{3}$）³+…+（$\frac{1}{3}$）^n-1+（$\frac{1}{3}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
化简可得T_n=$\frac{3}{4}$-$\frac{3+2n}{4}$•（$\frac{1}{3}$）ⁿ．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．