Question

13．已知（1+3x²）ⁿ的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．求展开式中二项式系数最大的项．

Answer 1

分析 令x=1，则展开式中各项系数和为（1+3）ⁿ=2²ⁿ，由展开式中二项式系数和为2ⁿ，求出n=5，从而展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项．

解答 解：令x=1，则展开式中各项系数和为（1+3）ⁿ=2²ⁿ，
又∵展开式中二项式系数和为2ⁿ，
∴2²ⁿ-2ⁿ=992，即n=5．
∵n=5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，
∴${T_3}=C_5^2×{1^3}×{（{3{x^2}}）^2}=90{x^4}$，
${T_4}=C_5^3×{1^2}×{（{3{x^2}}）^3}=270{x^6}$．

点评 本题考查二项式展开式中二项式系数最大的项的求法，考查二项式定理、通项公式、二项式数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．