Question

20．若在定义域内存在实数x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，则称函数有“穿越点”x₀，在区间（0，5]上任取一个数a，则函数f（x）=lg$\frac{a}{{2}^{x}+1}$在（-∞，+∞）上有“穿越点”的概率为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{3}{10}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 若函数在（0，+∞）上有飘移点，只需方程在该区间上有实根，然后借助于二次函数的性质可以解决

解答 解：函数f（x）=lg$\frac{a}{{2}^{x}+1}$在（-∞，+∞）上有“穿越点”，
所以lg$\frac{a}{{2}^{{x}_{0}+1}+1}$=lg$\frac{a}{{2}^{{x}_{0}}+1}+lg\frac{a}{3}$成立，即$\frac{a}{{2}^{{x}_{0}+1}+1}=\frac{a}{{2}^{{x}_{0}}+1}×\frac{a}{3}$，
整理得${2}^{{x}_{0}}=\frac{a-3}{3-2a}$，由${2}^{{x}_{0}}$＞0，得到$\frac{a-3}{2a-3}$＜0，解得$\frac{3}{2}＜a＜3$，所以函数f（x）=lg$\frac{a}{{2}^{x}+1}$在（-∞，+∞）上有“穿越点”a的范围是（$\frac{3}{2}$，3），
所以在区间（0，5]上任取一个数a，则函数f（x）=lg$\frac{a}{{2}^{x}+1}$在（-∞，+∞）上有“穿越点”的概率为：$\frac{3-\frac{3}{2}}{5}=\frac{3}{10}$；
故选C．

点评 本题考查了函数的方程与函数间的关系，即利用函数思想解决方程根的问题，利用方程思想解决函数的零点问题，要注意体会