Question

用数学归纳法证明：当n∈N^*时，a^n＋1＋(a＋1)^2n－1能被a²＋a＋1整除．

Answer 1

证明：(1)当n＝1时，a²＋(a＋1)＝a²＋a＋1能被a²＋a＋1整除．

(2)假设当n＝k(k∈N^*)时，a^k＋1＋(a＋1)^2k－1能被a²＋a＋1整除，

当n＝k＋1时，

a^k＋2＋(a＋1)^2k＋1＝a·a^k＋1＋(a＋1)²(a＋1)^2k－1＝

a·a^k＋1＋a·(a＋1)^2k－1＋(a²＋a＋1)(a＋1)^2k－1＝

a[a^k＋1＋(a＋1)^2k－1]＋(a²＋a＋1)(a＋1)^2k－1.

由假设可知a[a^k＋1＋(a＋1)^2k－1]能被a²＋a＋1整除，

∴a^k＋2＋(a＋1)^2k＋1也能被a²＋a＋1整除，

即当n＝k＋1时，命题也成立．

综合(1)(2)知，对任意的n∈N^*命题都成立．