Question

如图（a），已知，抛物线y=-ax²+2ax+m与x轴交于A（-1，0），B两点，与y轴负半轴交于C点，且OB=OC．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点M在第四象限的抛物线图象上，且S_△ACM=

5

4

S_△BAM，求M点的坐标．
（3）如图（b），D为y轴正半轴上一点，连DB，DE⊥DB交抛物线于如图所示的E点，且DE=2DB，求E点的坐标

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：计算题,函数的性质及应用,直线与圆

分析：（1）由二次方程的韦达定理，可得另一根为3，即可得到a，m，进而得到抛物线解析式；
（2）求出直线AC的方程，再由点到直线的距离公式，运用面积公式，得到方程，解得即可；
（3）设E（s，t），过E作EM⊥y轴于M，设D（0，d），（d＞0）．由条件得到三角形OBD和MDE相似，得到对应边成比例，得到s，t的关系式，再由抛物线方程，即可解得s，t．

解答： 解：（1）-1是方程-ax²+2ax+m=0的一根，则有m=3a，
由两根之和为2，则另一根为3，即B（3，0），则C（0，-3），
则m=-3，a=-1，
则有抛物线y=x²-2x-3；
（2）直线AC：3x+y+3=0，
设M（m，n），则M到直线AC的距离为d₁=

|3m+n+3|

10

=

3m+n+3

10

，
M到直线AB的距离为d₂=-n，则S_△ACM=

1

2

d₁•|AC|=

5

4

S_△BAM=

5

4

×

1

2

（-n）×4，
化简整理得，m+2n+1=0，
又点M在第四象限的抛物线图象上，即有n=m²-2m-3（m＞0，n＜0），
解得，m=

5

2

，n=-

7

4

，即M（

5

2

，-

7

4

）．
（3）设E（s，t），过E作EM⊥y轴于M，设D（0，d），（d＞0）．
则由DE⊥DB，DE=2DB，可得∠BDO=∠DEM，
则有

OB

MD

=

BD

DE

=

OD

ME

，即有

3

t-d

=

1

2

=

d

s

，
则有s=2d，t=6+d，
又E在抛物线上，则有t=s²-2s-3，
则有4d2-5d-9=0，解得，d=

9

4

（-1舍去）．
则有E（

9

2

，

33

4

）．

点评：本题考查二次函数的图象和性质，考查二次方程的韦达定理，直线方程的形式和点到直线的距离的公式的运用，以及相似三角形的知识，考查运算能力，属于中档题．