Question

如图1，⊙O的直径AB=4，点C，D为⊙O上任意两点，∠CAB=45°，∠DAB=60°，F为

BC

的中点，沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直．
（1）求证：OF∥面ACD；
（2）求二面角A-CD-B的大小．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）只要证明OF∥AC即可；
（2）过O作OE⊥AD于点E，连接CE，∠CEO是二面角C-AD-B的平面角，然后求之．

解答： 解：（1）连接CO，∵∠CAB=45°，OA=OC，∴CO⊥AB，又∵F为

BC

的中点，∴∠FOB=45°，
∴OF∥AC，
∵OF?平面ACD，AC?平面ACD，
∴OF∥平面ACD．
（2）过O作OE⊥AD于点E，连接CE，
∵CO⊥AB，平面ABC⊥平面ABD，
∴CO⊥平面ABD，
又∵AD?平面ABD，
∴CO⊥AD，∴AD⊥平面CEO，∴AD⊥CE，
则∠CEO是二面角C-AD-B的平面角
∵∠OAD=60°，OA=2，∴OE=

3

，
由CO⊥平面ABD，OE?平面ABD，得△CEO为直角三角形，
∵CO=1，∴CE=

7

，∴cos∠CEO=

3

7

=

21

7

．
所以∠CEO=arccos

21

7

．

点评：本题考查了线面平行的判定和二面角的平面角的求法，关键是将所求转化为线线平行、平面角解答，属于中档题．