Question

2．已知等差数列{a_n}的前n项和为${S_n}=p{n^2}-2n（p∈R），n∈{N^*}$，且a₁与a₅的等差中项为18．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若a_n=2log₂b_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）依题意，可求得p的值，继而可求得数列{a_n}的首项与公差，从而可得通项公式；
（2）由a_n=2log₂b_n可求得b_n=2^4n-3，利用等比数列的求和公式可求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）∵数列{a_n}为等差数列，
且a₁与a₅的等差中项为18，
∴a₃=18，
又a₃=S₃-S₂=（9p-6）-（4p-4）=5p-2，
∴5p-2=18，解得：p=4，
∴a₁=S₁=4-2=2，∴公差d=$\frac{18-2}{3-1}$=8，
∴a_n=2+（n-1）×8=8n-6；
（2）∵a_n=2log₂b_n=8n-6，
∴b_n=2^4n-3，
∴数列{b_n}是以2为首项，2⁴=16为公比的等比数列，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{2（1{-16}^{n}）}{1-16}$=$\frac{2}{15}$（16ⁿ-1）．

点评 本题考查数列的求和，考查等差数列的通项公式与等比数列的求和公式，属于中档题．