Question

17．如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证：AE⊥平面BCE；
（2）求二面角B-AC-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由BF⊥平面ACE得出BF⊥AE，由面面垂直的性质得出BC⊥AE，于是得出AE⊥平面BCE；
（2）连结BD交AC于G，连结FG，证明AC⊥平面BFG，得出∠BGF为所求二面角，故而cos∠BGF=$\frac{FG}{BG}$．

解答 （1）证明：∵BF⊥平面ACE，AE?平面ACE．
∴BF⊥AE．
∵二面角D-AB-E为直二面角，
且平面ABCD∩平面ACE=AB，BC?平面ABCD，CB⊥AB，
∴CB⊥平面ABE，又∵AE?平面ACE．
∴CB⊥AE，
又∵BF∩CB=B，BF?平面BCE，CB?平面BCE，
∴AE⊥平面BCE．
（2）解：连结BD交AC于G，连结FG．
∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AC，
又∵正方形ABCD中，AC⊥BG，且BF∩BG=B，
∴AC⊥面BFG，∴AC⊥GF，∴∠BGF即为二面角B-AC-E的平面角，
∵AE⊥面BCE，∴AE⊥EB，∴$AE=EB=\sqrt{2}$，
在Rt△BCE中，可求$CE=\sqrt{6}$∴$BF=\frac{BE•BC}{CE}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
∴在Rt△BFG中，FG=$\sqrt{B{G^2}-B{F^2}}=\sqrt{{{（\sqrt{2}）}^2}-{{（\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）}^2}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
∴$cos∠BGF=\frac{FG}{BG}=\frac{{\frac{{\sqrt{6}}}{3}}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，即二面角B-AC-E的余弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，空间角的计算，属于中档题．