Question

7．已知平面向量$|{\overrightarrow α}|=|{\overrightarrow β}|=\sqrt{3}$且$\overrightarrow α$与 $\overrightarrow β-\overrightarrow α$的夹角为150°，则$|{t\overrightarrow α+\frac{1-t}{2}\overrightarrow β}|$（t∈R）的取值范围是[$\frac{3\sqrt{7}}{14}$，+∞）．

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{α}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{β}$，则$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{β}$-$\overrightarrow{α}$，△OAB为等腰三角形，且∠AOB=120°，∠OAB=∠OBA=30°，求得$\overrightarrow{α}•\overrightarrow{β}$=$\sqrt{3}$•$\sqrt{3}$•cos120°=-$\frac{3}{2}$，再根据 $|{t\overrightarrow α+\frac{1-t}{2}\overrightarrow β}|$=$\sqrt{{（t•\overrightarrow{a}+\frac{1-t}{2}•\overrightarrow{β}）}^{2}}$，利用二次函数的性质求得它的范围．

解答 解：∵平面向量$|{\overrightarrow α}|=|{\overrightarrow β}|=\sqrt{3}$且$\overrightarrow α$与 $\overrightarrow β-\overrightarrow α$的夹角为150°，
如图，设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{α}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{β}$，则$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{β}$-$\overrightarrow{α}$，
∴△OAB为等腰三角形，且∠AOB=120°，∠OAB=∠OBA=30°，
∴$\overrightarrow{α}•\overrightarrow{β}$=$\sqrt{3}$•$\sqrt{3}$•cos120°=-$\frac{3}{2}$，
∴$|{t\overrightarrow α+\frac{1-t}{2}\overrightarrow β}|$=$\sqrt{{（t•\overrightarrow{a}+\frac{1-t}{2}•\overrightarrow{β}）}^{2}}$=$\sqrt{{3t}^{2}+t（1-t）•\overrightarrow{α}•\overrightarrow{β}{+（\frac{1-t}{2}）}^{2}•3}$
=$\sqrt{{3t}^{2}+t（1-t）•（-\frac{3}{2}）+\frac{3}{4}•{（t}^{2}-2t+1）}$=$\sqrt{\frac{21}{4}{（t}^{2}-\frac{4}{7}t）+\frac{3}{4}}$=$\sqrt{\frac{21}{4}{•（t-\frac{2}{7}）}^{2}+\frac{9}{28}}$≥$\frac{3\sqrt{7}}{14}$，
故答案为：[$\frac{3\sqrt{7}}{14}$，+∞）．

点评 本题考查了向量的夹角、直角三角形的边角关系、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．