Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）图象上某个最高点坐标为（2，

2

），由此最高点到相邻的最低点间函数图象与x轴交于一点（6，0）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求使函数取最小值时x的取值集合；
（Ⅲ）求f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由函数的最值求出A，由周期求出ω，把定点坐标代入函数的解析式求得φ的值，从而求得函数的解析式
（Ⅱ）根据正弦函数的最值，求得y取得最大值和最小值，以及函数取最小值时x的取值集合．
（Ⅲ）令 2kπ-

π

2

≤

π

8

x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间；令2kπ+

π

2

≤

π

8

x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，求得x的范围，可得函数的减区间．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得T=4×（6-2）=16=

2π

ω

，所以ω=

π

8

，A=

2

，
将点（2，

2

）带入知函数f（x）=

2

sin（

π

8

x+φ），根据0＜φ＜

π

2

求得φ=

π

4

，
∴y=

2

sin（

π

8

x+

π

4

）．
（Ⅱ）当

π

8

x+

π

4

=2kл+

π

2

，即x=16k+2，k∈z时，y取得最大为

2

；
当

π

8

x+

π

4

=2kл+

3π

2

，即x=16k+10，k∈z时，y取得最小值为-

2

．
（Ⅲ）令 2kπ-

π

2

≤

π

8

x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得16k-6≤x≤16k+2，
故函数的增区间为[16k-6，16k+2]；
令2kπ+

π

2

≤

π

8

x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈z时，求得16k+2≤x≤16k+10，
故函数的减区间为[16k+2，16k+10]（k∈Z）．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，把定点坐标代入函数的解析式求得φ的值，正弦函数的最值以及单调性，属于中档题．