Question

9．已知数列{x_n}满足${x}_{1}=\frac{1}{2}$，且${x}_{n+1}=\frac{{x}_{n}}{2-{x}_{n}}（n∈{N}^{+}）$
（1）用数学归纳法证明：0＜x_n＜1；
（2）设${a}_{n}=\frac{1}{{x}_{n}}$，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）根据数学归纳法的证明步骤进行证明；
（2）设a_n=$\frac{1}{{x}_{n}}$，可得{a_n-1}是以1为首项，以2为公比的等比数列，即可求数列{a_n}的通项公式．

解答 证明（1）：①当n=1时，x₁=$\frac{1}{2}$∈（0，1），
②假设当n=k时，结论成立，即x_k∈（0，1），
则当n=k+1时，x_k+1=f（x_k）=$\frac{{x}_{k}}{2-{x}_{k}}$
∵x_k∈（0，1），
∴=$\frac{{x}_{k}}{2-{x}_{k}}$
∈（0，1），
即n=k+1时结论成立
综上①②可知0＜x_n＜1；
（2）：由x_n+1=$\frac{{x}_{n}}{2-{x}_{n}}$可得：$\frac{1}{{x}_{n+1}}$=$\frac{2}{{x}_{n}}$-1
∵a_n=$\frac{1}{{x}_{n}}$，
∴a_n+1=2a_n-1，
∴a_n+1-1=2（a_n-1），
又a₁-1=1
∴{a_n-1}是以1为首项，以2为公比的等比数列，
∴a_n-1=2^n-1，
即a_n=2^n-1+1．

点评 本题考查根据递推关系求数列的通项公式的方法，考查数学归纳法，证明n=k+1时，是解题的难点．