Question

4．设双曲线$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点分别为F₁，F₂，过点F₁的直线与双曲线交于P，Q两点，且|QF₁|-|PF₁|=2a，$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，则此双曲线的离心率为（　　）

• A． 3
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\frac{5}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{10}}{2}$

Answer 1

分析 设|PF₁|=m，|QF₁|=2a+m，则|PF₂|=2a+m，|QF₂|=4a+m，在直角△PF₂Q中，利用勾股定理，求出m=a，即可得出结论．

解答 解：设|PF₁|=m，|QF₁|=2a+m，则|PF₂|=2a+m，|QF₂|=4a+m，
在直角△PF₂Q中，（4a+m）²=（2a+m）²+（2a+2m）²，化简得m=a，
∴|PF₁|=a，|PF₂|=3a，|F₁F₂|=$\sqrt{10}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
故选D．

点评 本题考查双曲线的定义与性质，考查勾股定理的运用，属于中档题．