Question

已知

x-y+2≥0 x+y-4≥0 2x-y-5≤0

，
（1）求z=x+2y的最大和最小值．
（2）求z=

y

x

的取值范围．
（3）求z=x²+y²的最大和最小值．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：数形结合

分析：由约束条件作出可行域．
（1）化目标函数为直线方程的斜截式，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案；
（2）化z=

y

x

为z=

y-0

x-0

，由其几何意义即动点与定点连线的斜率得答案；
（3）由z=x²+y²=（x-0）²+（y-0）²表示可行域内的点（x，y）到（0，0）的距离的平方得答案．

解答： 解：由约束条件作出可行域如图．

（1）由z=x+2y得y=-

1

2

x+

z

2

，作一组平行线l：y=-

1

2

x+

z

2

，
解方程组

x+y-4=0 2x-y-5=0

得最优解A（3，1），
∴z_min=3+2×1=5．
解

x-y+2=0 2x-y-5=0

得最优解B（7，9），
∴z_max=7+2×9=25；
（2）z=

y

x

=

y-0

x-0

表示可行域内的点（x，y）与（0，0）的连线的斜率．
从图中可得，k_OA≤z≤k_OC，
又kOA=

1

3

，kOC=3，
∴

1

3

≤z≤3．
（3）z=x²+y²=（x-0）²+（y-0）²表示可行域内的点（x，y）到（0，0）的距离的平方．
从图中易得，zmin=(

0+0-4

2

)2=8，（O到直线AC的距离的平方），
zmax=|OB|2=130．

点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．