Question

函数f（x）=2x-cosx，{a_n}是公差为

π

8

的等差数列，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=7π，则[f（a₄）]²-a₁a₇=

 

．

Answer 1

考点：数列与三角函数的综合,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：由f（x）=2x-cosx，又{a_n}是公差为

π

8

的等差数列，可求得f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=7a₄，由题意可求得a₄，从而进行求解．

解答： 解：∵f（x）=2x-cosx，∵{a_n}是公差为

π

8

的等差数列，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=7π
∴f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=2（a₁+a₂+…+a₇）-（cosa₁+cosa₂+…+cosa₇）
=14a₄-[cos（a₄-

3π

8

）+cos（a₄-

2π

8

）+cos（a₄-

π

8

）+cosa₄+cos（a₄+

π

8

）+cos（a₄+

2π

8

）+cos（a₄+

3π

8

）]=7π
即14a₄-[2cosa₄cos

3π

8

+2cosa₄cos

2π

8

+2cosa₄cos

π

8

+cosa₄]=7π．
而 1+cos

π

8

+cos

2π

8

+cos

3π

8

=

cos 3π 8 -cos 4π 8

2(1-cos π 8 )

=

cos 3π 8

2(1-cos π 8 )

．
∴14a₄-cosa₄

cos 3π 8

1-cos π 8

=10π，cosa₄

cos 3π 8

1-cos π 8

，不可能出现含π的无理数，
所以14a₄=7π，a₄=

π

2

，上式成立．
[f（a₄）]²-a₁a₇=（2×

π

2

-cos

π

2

）²-

π

8

×

7π

8

=π²-

7π

64

=

57π2

64

．
故答案为：

57π2

64

点评：本题考查数列与三角函数的综合，继而求得a₄是关键，也是难点，考查分析，推理与计算能力，属于难题．