如图.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1.M是A1B1的中点.则下列四个命题:①直线BC与平面ABC1D1所成的角等于45°,②四面体ABCD1在正方体六个面内的投影图形面积的最小值为$\frac{1}{2}$,③点M到平面ABC1D1的距离是$\frac{1}{2}$,④BM与CD1所成的角为$arcsin\frac{{\sqrt{10}}}{10}$其中真命题的序号是①②④� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，M是A₁B₁的中点，则下列四个命题：
①直线BC与平面ABC₁D₁所成的角等于45°；
②四面体ABCD₁在正方体六个面内的投影图形面积的最小值为$\frac{1}{2}$；
③点M到平面ABC₁D₁的距离是$\frac{1}{2}$；
④BM与CD₁所成的角为$arcsin\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
其中真命题的序号是①②④．

分析利用正方体的特征，依次考查和证明每一个选项：M到面ABC₁D₁的距离等于B₁到面ABC₁D₁的距离$\frac{1}{2}$B₁C，BC与面ABC₁D₁所成的角即为∠CBC₁=45°，在四个面上的投影或为正方形或为三角形．最小为三角形；BE与CD₁所成的角即为BE与BA₁所成的角．

解答解：正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，M是A₁B₁的中点，
对于①：BC与面ABC₁D₁所成的角即为∠CBC₁=45°，∴正确．
对于②：在四个面上的投影或为正方形或为三角形．最小为三角形，面积为$\frac{1}{2}$，∴正确．
对于③：M∈A₁B₁，A₁B₁∥面ABC₁D₁，∴M到面ABC₁D₁的距离等于B₁到面ABC₁D₁的距离$\frac{1}{2}$B₁C=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴不对．
对于④：BM与CD₁所成的角即为BM与BA₁所成的角，即∠A₁BM，A₁M=$\frac{1}{2}$，A₁B=2，BM=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
由余弦定理可得cos∠A₁BE=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，∴sin∠A₁BM=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，BM与CD₁所成的角为$arcsin\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，∴正确．
故答案为：①②④．