Question

14．记max{m，n}=$\left\{\begin{array}{l}{m，m≥n}\\{n，m＜n}\end{array}\right.$，设F（x，y）=max{|x²+2y+2|，|y²-2x+2|}，其中x，y∈R，则F（x，y）的最小值是1．

Answer 1

分析 化简|x²+2y+2|=|（x-1）²+2（x+y）+1|，|y²-2x+2|=|（y+1）²-2（x+y）+1|，从而分类讨论确定最小值．

解答 解：∵|x²+2y+2|=|（x-1）²+2（x+y）+1|，
|y²-2x+2|=|（y+1）²-2（x+y）+1|，
若x+y＞0，则|（x-1）²+2（x+y）+1|＞1，
则F（x，y）＞1，
若x+y＜0，则|（y+1）²-2（x+y）+1|＞1，
则F（x，y）＞1；
而当$\left\{\begin{array}{l}{x-1=0}\\{x+y=0}\\{y+1=0}\end{array}\right.$，即x=1，y=-1时，
F（x，y）=1，
故F（x，y）的最小值是1．
故答案为：1．

点评 本题考查了学生的化简运算能力及转化思想方法的应用，同时考查了学生的学习运算能力，属于中档题．