Question

15．求与椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}$=1相交于A?B两点，并且线段AB的中点为M（1，1）的直线方程．

Answer 1

分析 设出A，B的坐标，代入椭圆方程，利用“点差法”求得AB所在直线的斜率，再由直线方程的点斜式得答案．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{9}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{9}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}=1$，
两式作差得：$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{9}=-\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{4}$，
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{4（{x}_{1}+{x}_{2}）}{9（{y}_{1}+{y}_{2}）}$，
∵线段AB的中点为M（1，1），∴${k}_{AB}=\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{4×2}{9×2}=-\frac{4}{9}$，
∴线段AB所在直线方程为：y-1=$-\frac{4}{9}$（x-1），
即：4x+9y-13=0．

点评 本题考查椭圆的简单性质，训练了“中点弦”问题的求解方法，是中档题．